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MATEMATICA Y DISEÑO: EL RECTANGULO AUREO Geometría e historia A lo largo de la Historia se ha recurrido a las Matemáticas y a la Geometría como elementos sustentadores de la Arquitectura y el Arte. Dichos elementos fueron incluidos en la tratadística, sobre todo clásica, como una condición indispensable que garantiza la belleza del producto final. Ya Pitágoras observó que toda armonía dependía de una proporción, de una relación numérica. La palabra Cosmos de acuerdo con la tradición, atribuida a Pitágoras, significaba originalmente "Orden", y este orden se percibía como armonía, una consonancia entre nosotros y el universo. Esta idea fue desarrollada como la correspondencia entre el Macrocosmos (el mundo) y el Microcosmos (el hombre), con el Templo como lazo de unión entre los dos. Este punto de vista fue reforzado por la importancia que le dieron los Pitagóricos a la teoría de la música y la teoría platónica de las proporciones basadas en intervalos musicales. El concepto de Proporción es, en Lógica así como en Estética, uno de los más importantes y más difíciles de definir con precisión Proporción, según Euclides, "es la igualdad de dos razones". La razón de dos segmentos es la razón de sus longitudes. Razón es la comparación cuantitativa entre dos cosas de la misma especie. Si tomamos una de ellas como unidad, obtenemos la medida de la otra. Podemos decir que la teoría de la proporción se ocupa del estudio de los ritmos por conjugación de objetos de igual forma. La proporción en la figura humana influyó notablemente, tanto en Arquitectura con la finalidad de crear espacios para uso del hombre, cuanto en Pintura y Escultura para representar la figura humana. La escala de Vitruvio consiste en considerar la altura como módulo y referenciar las otras partes del cuerpo como submúltiplos de tal unidad. Dicho sistema se llamó armónico. Alberti (1404-1472) en su tratado "Sobre la pintura" establece alternativamente el sistema armónico de Vitruvio y el sistema aritmético basado en la modulación de la figura humana por múltiplos de una unidad prefijada. En pintura tomó como módulo la cabeza humana y en escultura, el pie. Durero probó ambas escalas, la armónica y la aritmética de proporción; la escala armónica para tomar la mitad, la tercera parte, etc., de una unidad, y la escala aritmética simplemente para añadir unas dimensiones a otras. Lo interesante de los estudios de Durero sobre las proporciones humanas consiste en que "el único ejemplo" de la repetición de proporciones que dice haber hallado, fueron las medidas comprendidas entre "cuello y cadera, cadera y rodilla, y rodilla y tobillo". Durero creía haber hallado una progresión geométrica entre todas ellas, de manera que para la mayoría de los seres humanos: (cuello a cadera) . (rodilla a tobillo) = (cadera a rodilla)² Los estudios de este tipo elaborados en Italia durante el Renacimiento fueron culminados por Leonardo da Vinci (1452-1519), quien partiendo de Vitruvio, elaboró en sus "Cuadernos" una auténtica teoría sobre la figura humana en reposo o en movimiento. "Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una décimocuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazón lleguen al nivel de la cima de la cabeza verás que el centro de los miembros extendidos se halla en el ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero". Los arquitectos de todas las épocas han pretendido lograr la belleza sometiendo sus plantas y alzados a determinadas normas geométricas, denominadas normas reguladoras. La finalidad de tales normas es "concertar todas las proporciones de una misma obra. Las proporciones resuelven el problema de la relación entre las partes y el todo de un edificio." Entre los monumentos románicos cuyas proporciones han sido estudiadas, destaca San Martín de Frómista, Santo Domingo de Silos, San Isidoro de León, donde se constata la presencia de proporciones racionales e irracionales; en concreto, de estas últimas aparece la proporción . Respecto de las catedrales góticas, en la obra "La decadencia de Occidente" de O. Spengler, tomo I, pag. 93, podemos leer: "Las catedrales góticas y los templos dóricos son Matemática Petrificada". Avanzando en la Historia, se puede constatar que los escritos de Vitruvio, Euclides y Platón influyeron de forma decisiva en las concepciones de proporción en el Renacimiento. Como ejemplo de monumento renacentista y construido siguiendo proporciones áureas podemos considerar el Colegio Mayor Santa Cruz de Valladolid, fundado por el Cardenal González de Mendoza en 1479, terminado de construir en 1491, aunque fue modificado en el siglo XVIII por Ventura Rodríguez y que, como señaló Don Manuel Gómez Moreno, "es el primer saludo renacentista en España". No se tiene noticia cierta del arquitecto que diseñó la fábrica en estilo gótico tardío, con tendencias renacentistas. Este autor de las trazas góticas conocía y utilizó para su diseño la Divina Proporción. Haciendo otro gran salto en la Historia llegamos a Le Corbusier (1887?1965), quien marcaría la arquitectura del movimiento moderno. Su propuesta de diseño consiste, muy sintéticamente, en el establecimiento de un módulo arquitectónico que contemple a la vez las dimensiones humanas y la necesidad internacional de producción en serie. Desde el punto de vista geométrico Le Corbusier se interesó por la proporción áurea debido, fundamentalmente, a su capacidad enlazadora y generadora. A partir de rectángulos áureos, por superposición y subdivisión pudo construir la malla fundamental de1 Modulor. Fijada la altura del hombre construyó dos series: Serie roja: w, dw, dw², dw³,..... Serie azul: 2d, 2dw, 2dw², 2dw³,..... Fijada la altura del hombre en 6 pies ingleses, 6 pies=6. 30,48 ~183 cm., estableció una escala de la figura humana jugando con razones áureas. A partir de esta escala se puede dar una escala relativa a las posiciones humanas más habituales, escala que marca el nivel constructivo proyectual tanto en arquitectura cuanto en los elementos supletorios incidentes con ella. El sistema de medida ideado por él en El Modulor forma una sucesión de Fibonacci: Un= Un ?1+ Un?2, Un= wUn?1 Si tomamos el primer término de la sucesión igual a 27 obtenemos la serie roja, siendo el término quinto 183, la altura estimada del hombre. Si el primer término de la sucesión es igual a 22 obtenemos la serie azul, siendo el término sexto la altura del hombre con el brazo levantado. Si comenzamos la serie azul en el tercer término, a partir del mismo obtenemos una serie que coincide con el doble de la serie roja.   EL RECTANGULO AUREO: POSIBLES APLICACIONES EN LA ENSEÑANZA DEL DISEÑO Fundamentos Hemos dicho que, a través de la experiencia en la docencia, al formularnos las recurrentes preguntas sobre la oportunidad y permanencia del conocimiento, llegamos a la conclusión que el conocimiento permanece si hay un estímulo motivador en el objeto de estudio que aluda al nivel afectivo, y si el alumno descubre, mediante la acción con objetos de la realidad (sean éstos de orden físico, icónico o simbólico), las reglas de juego que rigen sus relaciones. Recordemos lo que Julio Cortázar decía: "El juego es una estructura, una construcción mental en la que se tiene toda la libertad de actuar sin que se sobrepasen o se violen las reglas". Tenemos claro que no todo debe terminar con el juego, ya que es necesario que el alumno desarrolle las capacidades de abstracción y simplificación necesarias para el análisis de realidades que gradualmente deben aumentar su nivel de complejidad. Gimeno Sacristán dice: "La estrategia didáctica implica una toma de decisión tendiente a desencadenar una actividad en el alumno o grupo de alumnos", entendiendo por actividad tanto lo motriz cuanto lo intelectual y reflexivo. Por otra parte, Piaget aseveraba que "...sabiendo que el conocimiento es una creación que el sujeto obtiene al aprehender con sus esquemas un objeto, lo que siempre supone una determinada actividad o investigación sobre el objeto, la enseñanza debe ser un proceso que estimule la actividad experimental". Por todo ello, consideramos que el valor de cada situación de aprendizaje reside en el despliegue de operaciones mentales a que obligue ese contenido en los sujetos. En cuanto a la temática a abordar, hemos dicho también que "el diseño implica una síntesis comprensiva entre el pensamiento científico y el pensamiento creativo" y que "las decisiones que definen la forma relacionan dos instancias: la geométrica y la morfológica: de la primera se desprende la estructura abstracta de la forma y de la segunda, las posibles interpretaciones sobre esa estructura" (ver Modelos matemáticos y Morfología, Blanco Martín, Giordano, Nieto, 1997). En este caso, hemos elegido el rectángulo áureo como modelo matemático cuyo dinamismo permite variadas interpretaciones morfológicas, tanto en el plano bidimensional, cuanto en la tri-dimensión.