Nació en Londres el 11 de octubre de 1885 como la menor de tres hermanos. Su padre, Armand Moreau, a quien definió como un «libre pensador», fue un revolucionario francés que participó en la Comuna de París en 1871. Tras su participación y debido a la cruenta represión subsiguiente, residió en Bélgica primero y en Gran Bretaña después.

Alicia y su madre María Denanpont emigraron en 1890 a la Argentina, para residir en Sansinena, que prometía ser la capital nacional del país, situación que no prosperó. Moreau luego dijo: «Cuando llegué al país, no caminaba; como digo siempre, tuve mucho gusto de aprender a caminar sobre esta tierra de la que nunca me separé». Una vez asentada la familia en Buenos Aires, el padre de Alicia, un ideólogo anarquista y socialista, estableció una librería en 1896 y se integró a los grupos socialistas que comenzaron a surgir por esa época con el fin de organizar el movimiento obrero argentino. Su hija solía acompañarlo a estas reuniones y actividades. Por su parte, Armand se dirigió con asiduidad a otorgar libros a los enfermos del Hospital Francés.

En 1906, ingresó a la Facultad de Medicina de la Universidad de Buenos Aires, en un contexto en el que pocas mujeres accedían a la educación superior.Se recibió de médica en 1914, especializándose en ginecología y enfermedades de la mujer, una elección alineada con su compromiso con la salud y los derechos femeninos.

Durante sus años como estudiante, participó en el movimiento feminista y socialista, destacándose como oradora en congresos y eventos.

En 1920 fue una de las fundadoras de la Unión Feminista Nacional (UFN) con el fin de unificar las distintas organizaciones feministas que existían en ese entonces,como el Centro Socialista Femenino, la Agrupación Socialista Femenina y el Consejo Nacional de Mujeres. La acción política de la UFN resultó decisiva para apoyar la sanción de muchas leyes importantes de reconocimiento de los derechos de la mujer y de protección del trabajo femenino, como así también para la defensa de la madre soltera. Esta entidad publicó mensualmente la revista Nuestra Causa, que difundía sus ideas y comenzó a organizar movilizaciones activas de mujeres durante los actos electorales al igual que peticiones masivas dirigidas a los legisladores.

En 1921 decidió afiliarse al Partido Socialista a pesar de que se definía como una de tipo revolucionaria y no reformista. Al año siguiente contrajo matrimonio con el fundador del partido y creador de la cooperativa «El Hogar Obrero», Juan B. Justo, con el que tuvo tres hijos: Alicia Marta, Juan Roberto y Luis Justo. Justo, uno de los mayores exponentes del socialismo argentino, murió inesperadamente el 8 de enero de 1928 a causa de un síncope cardíaco.

En 1975, a los 90 años, fue una de las fundadoras de la Asamblea Permanente por los Derechos Humanos (APDH), convocada por Rosa Pantaleón, junto con el obispo de Neuquén Jaime de Nevares, el rabino Marshall Meyer, el obispo Carlos Gatinoni, Raúl Alfonsín, Oscar Alende, Susana Pérez Gallart, Adolfo Pérez Esquivel y Alfredo Bravo. La APDH desempeñó un importante papel de resistencia al terrorismo de Estado durante la dictadura militar que gobernó entre 1976 y 1983. En esos años acompañaba a las Madres de Plaza de Mayo, a quienes consideraba ejemplo de mujeres «valientes», en sus famosas rondas frente a la Casa de Gobierno y presentaba peticiones de libertad a la junta militar y a los jueces. En gesto de agradecimiento, en el día de su 99.º cumpleaños, le obsequiaron un pañuelo blanco, símbolo de las Madres y Abuelas de Plaza de Mayo.30

En 1979, cuando la actividad política estaba prohibida y muchos políticos debieron exiliarse, participó junto a otros dirigentes de la Confederación Socialista Argentina y del Partido Socialista Popular en un acto en el tradicional salón de la mutual socialista Unione e Benevolenza de la ciudad. En 1980, fue una de las encargadas de recibir a la Comisión Interamericana de Derechos Humanos de la OEA, una de las acciones internacionales que más dañaron al Proceso de Reorganización Nacional. En el mismo año, como integrante de la Comisión Permanente en Defensa de la Educación (COPEDE), Moreau, en compañía de Adolfo Pérez Esquivel, Ernesto Sabato y Elías Castelnuovo, publicó Por una universidad gratuita y firmó el reclamo inicial por el secuestro y encarcelamiento de Alfredo Bravo.